Método de multiescalamiento mixto en mallados corner point
La simulación multiescalada es una aproximación que promete facilitar la simulación directa de grandes y complejos modelos de mallados para yacimientos de petróleo altamente heterogéneos. A diferencia de las simulaciones tradicionales basadas en escalamiento o afinamiento, los métodos de multiescalamiento buscan la manera de resolver todo el problema de flujo incorporando subescalas de heterogeneidad en espacios de aproximación local discretos. Utilizando funciones básicas de multiescalamiento para discretizar las ecuaciones de flujo global en una malla gruesa (de moderado tamaño), se puede conservar la eficiencia de un método de escalamiento, y al mismo tiempo producir campos de velocidad detallados y conservativos en la malla fina.
Para las ecuaciones de presión, el método de multiescalamiento mixto de elementos finitos (MsMFEM) ha mostrado ser una aproximación particularmente versátil. Se extiende el método a mallados corner-point, que es estándar en la industria para modelar la geología de yacimientos complejos. Para implementar MsMFEM se necesita un método de discretización para resolver problemas de flujo local en las mallas finas. En principio, cualquier método conservativo y estable puede ser utilizado. Utilizando la discretización mimética, que es una generalización de los elementos finitos mixtos se provee una discretización del producto interno y permiten curvar las caras de la malla y los elementos poliédricos.
La malla gruesa puede en principio ser cualquier partición de la submalla, donde cada bloque grueso es una colección conectada de celdas del la submalla. Sin embargo, cuando se generan mallas gruesas se deben seguir ciertas guías para lograr una precisión mejorada.
Complejidad de los modelos de Simulación de Yacimientos
Para modelar las estructuras geológicas en yacimientos de petróleo, una aproximación estandar es introducir lo que se ha llamado mallas corner-point. Estas consisten de un conjunto de celdas hexaédricas que se alinean de un modo cartesiano lógico. Una capa horizontal en la malla es asignada a cada estrato sedimentario que será modelado. En esta simple forma, se especifica una malla corner-point en términos de un grupo de pilares verticales o inclinados definidos sobre una malla areal cartesiana 2D en la dirección lateral.
Cada celda en la malla volumétrica corner-point se restringe por cuatro pilares y es definida especificando los ocho puntos de las esquinas en la celda, dos en cada pilar. La Figura 1 muestra un corte lateral de una malla corner-point. Se puede notar la existencia de celdas degeneradas con menos de ocho esquinas que no son iguales donde los estratos están parcialmente erosionados. Algunas celdas pueden también desaparecer completamente o introducir conexiones entre celdas que no son vecinas en la malla cartesiana que subyace a ellas.
Fig 1. Vista en el plano xz de una malla cartesiana con pilares verticales que modelando un conjunto de estratos sedimentarios.
La geometría flexible en un formato de malla corner-point introduce una dificultad adicional. Primero que nada, como cada cara de una celda de la malla es especificada por cuatro puntos arbitrarios, las caras internas de las celdas en la malla serán generalmente superficies bilineales y posiblemente estarán fuertemente curvadas. Segundo, las celdas corner-point pueden tener volumen cero, lo que introduce un acoplamiento entre celdas no vecinas y da origen a la discretización de matrices con escasez de patrones complejos.
Finalmente, la presencia de celdas degeneradas, en las cuales los puntos de esquina (corner-points) colapsan por pares, significa que las celdas generalmente seran poliédricas y posiblemente contengan caras triangular y bilineales. (Ver Figura 2).
Figura 2. Ejemplos de celdas hexaédricas degeneradas y deformadas formando modelos de mallado corner-point.
Se requiere por lo tanto una discretización muy flexible que se sea sensitiva a la geometría de cada celda o al número de caras y puntos de esquinas. Mas aún, la discretización debería se capaz de manejar mallas no conformadas. Las mallas no conformadas originan (utilizando el formato corner-point) zonas de fallas donde ha ocurrido un desplazamiento a lo largo del hiperplano. (Ver Figura 3). Otra consecuencia es que la generación de las mallas gruesas que se utilizarán posteriormente (escalamiento) es generalmente difícil.
Figura 3. Dos ejemplos de superficies de fallas en un modelo tridimensional con caras internas que no coinciden a través de la falla. (Izquierda) Vista tridimensional. (Derecha) Vista bidimensional, donde la parte sombreada ilustra la una sub-interface en la superficie de la falla.
Método multiescalado mixto de elementos finitos (MsFEM)
Las ecuaciones elípticas o parabólicas utilizadas para modelar presión y velocidad en aplicaciones de flujo en medio poroso tienen soluciones de velocidad que ha menudo exhiben una estructura multiescala. Para resolver éstas ecuaciones, Hou y Wu 1 introdujeron la idea de utilizar una formulación de elementos finitos con funciones especiales que son construidas para ser adaptadas a las propiedades de los operadores diferenciales. Su método fue llamado el Método Multiescalado de Elementos Finitos (MsFEM), y fue capaz de generar soluciones que reflejan importantes características en las subescalas de los coeficientes en la ecuación elíptica.
Sin embargo, MsFEM no produce soluciones con conservación de la masa (localmente). Introduciendo una formulación mixta, Chen y Hou 1 obtuvieron un método que proporciona campos de velocidad conservativos de la masa en la discretización de la malla fina y también en la submalla subyacente en bloques gruesos. Este método se llamó Método multiescalado mixto de elementos finitos o FEM multiescalado mixto (MsMFEM).
El principal esfuerzo computacional al resolver las ecuaciones elípticas o parabólicas utilizadas para modelar presión y velocidad utilizando MsFEM existe al construir las funciones base. El trabajo asociado a esta tarea solamente es proporcional a la cantidad de trabajo requerido para resolver todo el problema en una malla fina utilizando los mejores elementos de solución lineal disponibles, tales como métodos algebráicos de multimallado.
Esto ilustra como MsFEM no necesariamente reduce considerablemente el costo computacional comparado con los método de solución de malla fina para una sola solución de presión. Sin embargo, MsFEM ofrece ahorros computacionales significantes para problemas de flujo multifásico. De hecho, para simulaciones bifásicas, donde la ecuación de presión necesita ser resuelta repetidamente, se ha demostrado que las funciones base necesitan ser procesadas solo una vez, o actualizadas con muy poca frecuencia2,3,4.
Esto significa que la mayor tarea computacional está relacionada con la solución del sistema global para malla gruesa, que es significativamente menos costoso que resolver todo el sistema de malla fina. Es importante mencionar que cada función base debe ser procesada independientemente, lo cual hace que el procesamiento de las funciones bases sea una tarea a realizar en paralelo. Se debería esperar entonces una velocidad significativa de MsMFEM para simulaciones en paralelo.
Generación de mallas gruesas
La formulación de funciones base es muy flexible con respecto a la geometría y topología tanto de la malla gruesa como la fina. Esta es una gran ventaja de las formulaciones mixtas multiescaladas.
Simplificando un poco, la flexibilidad de la malla puede ser planteada de la siguiente manera: Dado un método de solución apropiado para los problemas de flujo local en un tipo particular de malla fina, el método multiescala puede ser formulado y las funciones base pueden ser procesadas en cualquier malla gruesa donde cada bloque en la malla consiste de una colección arbitraria de celdas conectadas de la malla fina.
Para ilustrar esto, considere un pequeño modelo definido como la unión de los tres bloques mostrados en la figura 4. A pesar de que estos bloques están apilados unos en los topes de otros, cada par de bloques tiene una interfase común; y así, en la formulación multiescalada se construyen tres funciones bases para este grupo de bloques, una para cada par mostrado en la figura 4.
En principio, cualquier método numérico conservativo puede ser usado para construir las funciones base. Sin embargo, se debe evaluar el producto interno bruto entre dos funciones base. Por lo tanto, si el método numérico utilizado para procesar las funciones base sólo proporciona flujo sobre las caras de las celdas (basado en un volumen finito o método de diferencias finitas), se deben tener los medios para interpolar las velocidades internas de las celdas. Alternativamente, se puede utilizar un producto interno aproximado que sólo involucra flujo en las interfases.
Un método de solución para subescalas conservativas de masa garantiza que las velocidades en la malla gruesa y fina serán conservativas. De hecho, el flujo en escala fina puede ser utilizado para definir flujos conservativos en cualquier malla de bloques con celdas unidas por conexión simple en la malla fina. Esto significa que la malla utilizada para resolver el flujo no tiene que coincidir con la malla gruesa en el método multiescala.
Por lo tanto el método multiescala puede ser fácilmente combinado con métodos de solución de transporte (flujo) utilizando un refinamiento adaptativo de la malla. Numerosos ensayos, muestran que la precisión de MsFEM generalmente no es muy sensible a la forma de los bloques 5. De hecho, se obtienen resultados precisos para mallas que contiene bloques con formas exóticas (Figura 5).
Figura 5. Nueve bloques diferentes a partir de un particionamiento uniforme del modelo de estratos ondulados.
Una particular ventaja de las formulaciones mixtas multiescaladas es su fácil implementación. Otorgando un metodología de discretización apropiada en las mallas corner-point, es bastante sencillo implementar el método mixto de multiescalamiento en los métodos de solución de presión que existen actualmente. La implementación de MsMFEM en softwares comerciales no debería ser entonces una tarea de grandes proporciones. Otra ventaja de las formulaciones MsMFEM es la facilidad con la cual se manejan las mallas escaladas (gruesas). Esto proporciona una gran ventaja cuando se consideran geomodelos más complejos con fracturas y fallas.
En resumen, el método de multiescalamiento mixto de elementos finitos puede facilitar en gran manera la simulación del flujo en modelos de mallas complejos y potencialmente puede ser utilizado para la simulación de yacimientos directamente en modelos geológicos a escala completa si se está capacitado para extender la metodología a flujos físicos más complejos como los modelos de petróleo negro (black-oil) y los modelos composicionales.
Fuente: J. E. Aarnes, S. Krogstad, and K.-A. Lie. "Multiscale mixed/mimetic methods on corner-point grids". Computational Geosciences, Special issue on multiscale methods, March 2007. DOI: 10.1007/s10596-007-9072-8
Para las ecuaciones de presión, el método de multiescalamiento mixto de elementos finitos (MsMFEM) ha mostrado ser una aproximación particularmente versátil. Se extiende el método a mallados corner-point, que es estándar en la industria para modelar la geología de yacimientos complejos. Para implementar MsMFEM se necesita un método de discretización para resolver problemas de flujo local en las mallas finas. En principio, cualquier método conservativo y estable puede ser utilizado. Utilizando la discretización mimética, que es una generalización de los elementos finitos mixtos se provee una discretización del producto interno y permiten curvar las caras de la malla y los elementos poliédricos.
La malla gruesa puede en principio ser cualquier partición de la submalla, donde cada bloque grueso es una colección conectada de celdas del la submalla. Sin embargo, cuando se generan mallas gruesas se deben seguir ciertas guías para lograr una precisión mejorada.
Complejidad de los modelos de Simulación de Yacimientos
Para modelar las estructuras geológicas en yacimientos de petróleo, una aproximación estandar es introducir lo que se ha llamado mallas corner-point. Estas consisten de un conjunto de celdas hexaédricas que se alinean de un modo cartesiano lógico. Una capa horizontal en la malla es asignada a cada estrato sedimentario que será modelado. En esta simple forma, se especifica una malla corner-point en términos de un grupo de pilares verticales o inclinados definidos sobre una malla areal cartesiana 2D en la dirección lateral.
Cada celda en la malla volumétrica corner-point se restringe por cuatro pilares y es definida especificando los ocho puntos de las esquinas en la celda, dos en cada pilar. La Figura 1 muestra un corte lateral de una malla corner-point. Se puede notar la existencia de celdas degeneradas con menos de ocho esquinas que no son iguales donde los estratos están parcialmente erosionados. Algunas celdas pueden también desaparecer completamente o introducir conexiones entre celdas que no son vecinas en la malla cartesiana que subyace a ellas.
Fig 1. Vista en el plano xz de una malla cartesiana con pilares verticales que modelando un conjunto de estratos sedimentarios.La geometría flexible en un formato de malla corner-point introduce una dificultad adicional. Primero que nada, como cada cara de una celda de la malla es especificada por cuatro puntos arbitrarios, las caras internas de las celdas en la malla serán generalmente superficies bilineales y posiblemente estarán fuertemente curvadas. Segundo, las celdas corner-point pueden tener volumen cero, lo que introduce un acoplamiento entre celdas no vecinas y da origen a la discretización de matrices con escasez de patrones complejos.
Finalmente, la presencia de celdas degeneradas, en las cuales los puntos de esquina (corner-points) colapsan por pares, significa que las celdas generalmente seran poliédricas y posiblemente contengan caras triangular y bilineales. (Ver Figura 2).
Figura 2. Ejemplos de celdas hexaédricas degeneradas y deformadas formando modelos de mallado corner-point.Se requiere por lo tanto una discretización muy flexible que se sea sensitiva a la geometría de cada celda o al número de caras y puntos de esquinas. Mas aún, la discretización debería se capaz de manejar mallas no conformadas. Las mallas no conformadas originan (utilizando el formato corner-point) zonas de fallas donde ha ocurrido un desplazamiento a lo largo del hiperplano. (Ver Figura 3). Otra consecuencia es que la generación de las mallas gruesas que se utilizarán posteriormente (escalamiento) es generalmente difícil.
Figura 3. Dos ejemplos de superficies de fallas en un modelo tridimensional con caras internas que no coinciden a través de la falla. (Izquierda) Vista tridimensional. (Derecha) Vista bidimensional, donde la parte sombreada ilustra la una sub-interface en la superficie de la falla.Método multiescalado mixto de elementos finitos (MsFEM)
Las ecuaciones elípticas o parabólicas utilizadas para modelar presión y velocidad en aplicaciones de flujo en medio poroso tienen soluciones de velocidad que ha menudo exhiben una estructura multiescala. Para resolver éstas ecuaciones, Hou y Wu 1 introdujeron la idea de utilizar una formulación de elementos finitos con funciones especiales que son construidas para ser adaptadas a las propiedades de los operadores diferenciales. Su método fue llamado el Método Multiescalado de Elementos Finitos (MsFEM), y fue capaz de generar soluciones que reflejan importantes características en las subescalas de los coeficientes en la ecuación elíptica.
Sin embargo, MsFEM no produce soluciones con conservación de la masa (localmente). Introduciendo una formulación mixta, Chen y Hou 1 obtuvieron un método que proporciona campos de velocidad conservativos de la masa en la discretización de la malla fina y también en la submalla subyacente en bloques gruesos. Este método se llamó Método multiescalado mixto de elementos finitos o FEM multiescalado mixto (MsMFEM).
El principal esfuerzo computacional al resolver las ecuaciones elípticas o parabólicas utilizadas para modelar presión y velocidad utilizando MsFEM existe al construir las funciones base. El trabajo asociado a esta tarea solamente es proporcional a la cantidad de trabajo requerido para resolver todo el problema en una malla fina utilizando los mejores elementos de solución lineal disponibles, tales como métodos algebráicos de multimallado.
Esto ilustra como MsFEM no necesariamente reduce considerablemente el costo computacional comparado con los método de solución de malla fina para una sola solución de presión. Sin embargo, MsFEM ofrece ahorros computacionales significantes para problemas de flujo multifásico. De hecho, para simulaciones bifásicas, donde la ecuación de presión necesita ser resuelta repetidamente, se ha demostrado que las funciones base necesitan ser procesadas solo una vez, o actualizadas con muy poca frecuencia2,3,4.
Esto significa que la mayor tarea computacional está relacionada con la solución del sistema global para malla gruesa, que es significativamente menos costoso que resolver todo el sistema de malla fina. Es importante mencionar que cada función base debe ser procesada independientemente, lo cual hace que el procesamiento de las funciones bases sea una tarea a realizar en paralelo. Se debería esperar entonces una velocidad significativa de MsMFEM para simulaciones en paralelo.
Generación de mallas gruesas
La formulación de funciones base es muy flexible con respecto a la geometría y topología tanto de la malla gruesa como la fina. Esta es una gran ventaja de las formulaciones mixtas multiescaladas.
Simplificando un poco, la flexibilidad de la malla puede ser planteada de la siguiente manera: Dado un método de solución apropiado para los problemas de flujo local en un tipo particular de malla fina, el método multiescala puede ser formulado y las funciones base pueden ser procesadas en cualquier malla gruesa donde cada bloque en la malla consiste de una colección arbitraria de celdas conectadas de la malla fina.
Para ilustrar esto, considere un pequeño modelo definido como la unión de los tres bloques mostrados en la figura 4. A pesar de que estos bloques están apilados unos en los topes de otros, cada par de bloques tiene una interfase común; y así, en la formulación multiescalada se construyen tres funciones bases para este grupo de bloques, una para cada par mostrado en la figura 4.
Figura 4. Dominio de tres bloques y los correspondientes subdominios que forman el soporte de las funciones bases MsMFEM resultantes.
En principio, cualquier método numérico conservativo puede ser usado para construir las funciones base. Sin embargo, se debe evaluar el producto interno bruto entre dos funciones base. Por lo tanto, si el método numérico utilizado para procesar las funciones base sólo proporciona flujo sobre las caras de las celdas (basado en un volumen finito o método de diferencias finitas), se deben tener los medios para interpolar las velocidades internas de las celdas. Alternativamente, se puede utilizar un producto interno aproximado que sólo involucra flujo en las interfases.
Un método de solución para subescalas conservativas de masa garantiza que las velocidades en la malla gruesa y fina serán conservativas. De hecho, el flujo en escala fina puede ser utilizado para definir flujos conservativos en cualquier malla de bloques con celdas unidas por conexión simple en la malla fina. Esto significa que la malla utilizada para resolver el flujo no tiene que coincidir con la malla gruesa en el método multiescala.
Por lo tanto el método multiescala puede ser fácilmente combinado con métodos de solución de transporte (flujo) utilizando un refinamiento adaptativo de la malla. Numerosos ensayos, muestran que la precisión de MsFEM generalmente no es muy sensible a la forma de los bloques 5. De hecho, se obtienen resultados precisos para mallas que contiene bloques con formas exóticas (Figura 5).
Figura 5. Nueve bloques diferentes a partir de un particionamiento uniforme del modelo de estratos ondulados.Una particular ventaja de las formulaciones mixtas multiescaladas es su fácil implementación. Otorgando un metodología de discretización apropiada en las mallas corner-point, es bastante sencillo implementar el método mixto de multiescalamiento en los métodos de solución de presión que existen actualmente. La implementación de MsMFEM en softwares comerciales no debería ser entonces una tarea de grandes proporciones. Otra ventaja de las formulaciones MsMFEM es la facilidad con la cual se manejan las mallas escaladas (gruesas). Esto proporciona una gran ventaja cuando se consideran geomodelos más complejos con fracturas y fallas.
En resumen, el método de multiescalamiento mixto de elementos finitos puede facilitar en gran manera la simulación del flujo en modelos de mallas complejos y potencialmente puede ser utilizado para la simulación de yacimientos directamente en modelos geológicos a escala completa si se está capacitado para extender la metodología a flujos físicos más complejos como los modelos de petróleo negro (black-oil) y los modelos composicionales.
Fuente: J. E. Aarnes, S. Krogstad, and K.-A. Lie. "Multiscale mixed/mimetic methods on corner-point grids". Computational Geosciences, Special issue on multiscale methods, March 2007. DOI: 10.1007/s10596-007-9072-8
